TEOREMA DE BAYES

 

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(Literatura digital)

TEOREMA DE BAYES

En el siglo XVIII, el pastor y matemático inglés Thomas Bayes formuló una idea revolucionaria: la posibilidad de calcular la probabilidad de una causa a partir de sus efectos observados. El trabajo de Thomas Bayes fue publicado póstumamente en 1763 por su amigo y albacea intelectual, el filósofo y pastor galés Richard Price. Price encontró los manuscritos de Bayes después de su muerte y comprendió la importancia de aquella idea novedosa sobre el cálculo de probabilidades inversas. Fue él quien organizó, editó y presentó el trabajo ante la Royal Society bajo el título:

“An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances”

no presentaba todavía la fórmula moderna que hoy conocemos, pero introducía un concepto profundamente innovador: aprender de la experiencia y actualizar nuestras creencias frente a nueva evidencia.

Décadas más tarde, el matemático francés Pierre-Simon Laplace transformó aquella intuición inicial en una formulación algebraica general, convirtiendo el Teorema de Bayes en una poderosa herramienta matemática para el razonamiento bajo incertidumbre.

Durante mucho tiempo, el pensamiento bayesiano tuvo un desarrollo limitado dentro de la estadística clásica. Sin embargo, en el siglo XX, y especialmente con el crecimiento de la informática, resurgió con enorme fuerza. La posibilidad de procesar grandes cantidades de datos permitió aplicar el razonamiento bayesiano a problemas extremadamente complejos.

Hoy, el Teorema de Bayes se encuentra en el corazón de numerosos avances tecnológicos:

·        diagnóstico médico,

·        inteligencia artificial,

·        aprendizaje automático (machine learning),

·        reconocimiento de voz e imágenes,

·        predicción meteorológica,

·        motores de búsqueda,

·        filtros de spam,

·        sistemas de recomendación,

·        y hasta vehículos autónomos.

En el fondo, gran parte de la tecnología moderna funciona siguiendo la misma lógica propuesta por Bayes hace más de 250 años:

partir de una creencia inicial, incorporar nueva evidencia y actualizar continuamente la probabilidad de que algo sea verdadero.

Lo más fascinante es que el Teorema de Bayes no describe solamente una fórmula matemática. Describe una manera de pensar.

Una forma de navegar la incertidumbre aprendiendo permanentemente de la experiencia.

Formulación algebraica general

P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B)

Probabilidad posterior = Verosimilitud x Probabilidad previa / Probabilidad marginal

P(A|B) = (Probabilidad posterior) = Probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B.

P(B|A) = (Verosimilitud) = Probabilidad de que ocurra B dado que ha ocurrido A

P(A) = (Probabilidad previa) = Probabilidad inicial de A antes de que ocurra B

P(B) = (Probabilidad marginal) = Probabilidad total de que ocurra B

Muchas veces confundimos una señal con una certeza.
Si vemos el cielo nublado, automáticamente pensamos: “seguramente va a llover”. Pero el Teorema de Bayes nos enseña algo muy interesante que P(A|B) no es igual a P(B|A). La probabilidad de que llueva dado que está nublado no es lo mismo que la probabilidad de que esté nublado dado que llueve. Una evidencia no vale por sí sola, sino en relación con el contexto donde aparece.

Imaginemos el siguiente ejemplo ficticio:

·        La probabilidad de que esté nublado dado que llueve es del 99%.

·        La probabilidad previa de lluvia es solo del 2%.

·        El 50% de los días están nublados.

Aplicando el Teorema de Bayes:

P(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B)

A = que llueva

B = que esté nublado

| = (línea vertical) = dado que

Entonces:

P (lluvia|nublado) = P (nublado|lluvia) x P (lluvia) / P (nublado)

Reemplazando los valores:

P (lluvia|nublado) = 99% x 2% / 50% = 3.96%

El resultado sorprende: aunque siempre que llueve está nublado, si el cielo está nublado la probabilidad de lluvia es apenas del 3.96%.

¿Por qué ocurre esto?
Porque puede haber muchísimos días nublados sin lluvia.

Y aquí aparece una enseñanza profunda del pensamiento bayesiano:

Una señal puede ser muy compatible con un fenómeno y aun así tener poco valor predictivo si ese fenómeno es poco frecuente.

El Teorema de Bayes no solo sirve para meteorología. En el fondo, describe cómo funciona el razonamiento humano cuando intenta interpretar la realidad en medio de la incertidumbre.